Curiosidades de la serie de Fibonacci

A finales del siglo XII, la república de Pisa era una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de Africa. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera summa matemática de la Edad Media.

En él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

La serie Fibonacci 

Esta secuencia tan querida por los aficionados a las matemáticas, se forma sumando los dos elementos anteriores de la serie, es decir, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… 

La sucesión de esta serie, se inicia con 0 y 1 y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores. A cada elemento que forma esta sucesión se le denomina número de Fibonacci.                                  

La serie ya había sido descrita con anterioridad por matemáticos hindúes como Gopala y Hemachandra, que investigaron los patrones rítmicos que se formaban con sílabas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era F(n+1), que es como sed representa al término n+1 de la sucesión de Fibonacci. Kepler también escribió sobre dicha sucesión.

A primera vista parece que los números no tienen nada que ver entre sí, pero:

La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.

  

              En el reino vegetal su aparición más llamativa es en la disposición en espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra en sentido antihorario, formados por dos términos consecutivos de la serie de Fibonacci.

Las ramas y las hojas de las plantas son más o menos eficientes para atrapar el máximo de luz solar posible de acuerdo a la forma en que se distribuyen alrededor del tallo. Si miras un poco en tu jardín, verás que no hay plantas en que las hojas se encuentren una justo en la vertical de la otra. En general, las hojas nacen siguiendo una espiral alrededor del tallo. Fijemos nuestra atención en una hoja de la base del tallo y asignémosle el número cero. Luego, contemos cuántas hojas hay en el tallo hasta encontrarnos directamente sobre la hoja "cero". Veremos que en la mayoría de las plantas este número pertenece la sucesión de Fibonacci. Además,  si contamos cuántas vueltas dimos antes de obtener la superposición de las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci.

Las margaritas también obedecen a esta secuencia, y acomodan sus semillas en forma de 21 y 34 espirales. Las piñas, prácticamente cualquier variedad que encuentres, también presentan  un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los números de Fibonacci, por lo general 8 y 13  o 5 y 8. 

Algunos aseguran que Leonardo encontró estos números cuando estudiaba el crecimiento de las poblaciones de conejos, y es muy posible que así sea. Imaginemos que una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a la edad de la fertilidad) engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? Si: cada mes habrá un numero de conejos que coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

El cuadrado de cada número F se diferencia en 1 del producto de los dos números F situados a cada uno de sus lados. Conforme se avanza en la sucesión, esta diferencia va siendo alternativamente positiva y negativa.

Por ejemplo: sea F = 5, entonces el número F anterior es el 3 y el número F posterior de la serie es el 8, obeservemos que 25 supera en una unidad al producto 3 por 8,o sea 24

La suma de los cuadrados de dos números F consecutivos cualesquiera,F_n²+F_n+1² es F_2n+1. Puesto que el último de estos números es de subíndice forzosamente impar, resulta de este teorema que al escribir en sucesión los cuadrados de los números de Fibonacci, las sumas de los pares de cuadrados consecutivos formarán la sucesión de números de Fibonacci con subíndice impar.

Cualesquiera cuatro números de Fibonacci consecutivos A, B, C, D verifican la siguiente identidad: C² - B² = A x D. Probemos, sean esos números: 2, 3, 5 y 8

se cumple que 25 - 9 = 16 y por otro lado 2 x 8 = 16

El tercero de cada tres números de la sucesión es divisible por 2; al contarlos de cuatro en cuatro, el cuarto es divisible por 3. El quinto de cada cinco es múltiplo de 5; el sexto de cada seis, es divisible por 8, y así sucesivamente.

A excepción del 3, todo número F que sea primo tiene subíndice primo. Dicho de otra forma, si el subíndice es compuesto, también lo será el número F correspondiente (Por ejemplo, 233 es primo y porta subíndice 13, también primo). Pero la recíproca no es cierta. Hay números de Fibonacci con subíndices primos que son números compuestos. El primer ejemplo es F₁₉ que vale 4.181, siendo éste último múltiplo de 37 y 113.

Con las excepciones triviales de 0 y 1, tomando 0 como el elemento de subíndice 0 de la sucesión, entre los números de Fibonacci hay solamente un cuadrado perfecto, el elemento que se encuentra en la posición 12, que es el número 144. También observemos que el número es el cuadrado del  subíndice.

 En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.

Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero   

Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión.

Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.

Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x 1.

Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3 x 2.

Ssobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5 x 3, luego uno 5 x 8, 8 x 13, 13 x 21...

Podemos llegar a rectángulo de 34  x  55, de 55  x  89...

Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo aureo.

Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1 x 1), pasan al rectángulo de dimensiones 2 x 1, al de 3 x 2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.

Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero. 

 

Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.

Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.