Excentricidad

En este video se puede observar la relación entre la excentricidad y la gráfica de una cónica.
Puedes descargar los siguientes archivos para trabajar con Geogebra y observar lo que sucede con las parábolas y las hipérbolas. También podrás trabajar con la ecuación de la recta en el plano.

*   excentricidad de hipérbola

*  variación de la gráfica de la parábola

*   gráfica de una recta en el plano

Elipse

Hipatia descubre el movimiento elíptico de la Tierra alrededor del Sol 

Secciones cónicas

La recta en el plano

La ecuación de la recta en el plano tiene variadas formas. En esta presentación se deducen las más relevantes y se analizan cada una de ellas.

La recta en el plano de Sergio Junio

Producto vectorial y mixto

Introducción a la teoría sobre producto vectorial y mixto entre vectores del espacio.

Producto vectorial y mixto de Sergio Junio

Producto escalar entre vectores

Introducción al producto escalar entre vectores.

Producto escalar de Sergio Junio

TEST DE APRENDIZAJE Nª 10

Se acerca el parcial, buen momento para que evalúes los conocimientos que has adquirido hasta el momento sobre conceptos básicos de geometría.
Ingresa al test con el siguiente código: geometria1

INGRESAR AL TEST

LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Breve reseña sobre la obra de Euclides

TEST DE APRENDIZAJE N° 9. TEMA: CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

Para prepararte para el examen de GEOMETRÍA I te recomiendo hacer el siguiente test. Respondiendo una serie de preguntas podrás evaluar tus conocimientos sobre el siguiente tema: CONCEPTOS ELEMENTALES DE GEOMETRÍA.
Al finalizar el test tendrás el resultado del mismo.
El código de acceso para poder realizar el test es: geometria1

TEST DE CONTROL DE APRENDIZAJE DE LA TEORÍA DE GEOMETRÍA I

Práctica de vectores

Aquí podrás descargar la práctica de vectores.     Descargar

Práctica

Segunda práctica de nociones elementales de Geometría         Descargar

Práctica

Primera práctica de nociones elementales de Geometría Descargar

Curiosidades de la serie de Fibonacci

A finales del siglo XII, la república de Pisa era una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de Africa. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera summa matemática de la Edad Media.

En él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.

La serie Fibonacci 

Esta secuencia tan querida por los aficionados a las matemáticas, se forma sumando los dos elementos anteriores de la serie, es decir, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… 

La sucesión de esta serie, se inicia con 0 y 1 y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores. A cada elemento que forma esta sucesión se le denomina número de Fibonacci.                                  

La serie ya había sido descrita con anterioridad por matemáticos hindúes como Gopala y Hemachandra, que investigaron los patrones rítmicos que se formaban con sílabas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era F(n+1), que es como sed representa al término n+1 de la sucesión de Fibonacci. Kepler también escribió sobre dicha sucesión.

A primera vista parece que los números no tienen nada que ver entre sí, pero:

La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.

  

              En el reino vegetal su aparición más llamativa es en la disposición en espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra en sentido antihorario, formados por dos términos consecutivos de la serie de Fibonacci.

Las ramas y las hojas de las plantas son más o menos eficientes para atrapar el máximo de luz solar posible de acuerdo a la forma en que se distribuyen alrededor del tallo. Si miras un poco en tu jardín, verás que no hay plantas en que las hojas se encuentren una justo en la vertical de la otra. En general, las hojas nacen siguiendo una espiral alrededor del tallo. Fijemos nuestra atención en una hoja de la base del tallo y asignémosle el número cero. Luego, contemos cuántas hojas hay en el tallo hasta encontrarnos directamente sobre la hoja "cero". Veremos que en la mayoría de las plantas este número pertenece la sucesión de Fibonacci. Además,  si contamos cuántas vueltas dimos antes de obtener la superposición de las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci.

Las margaritas también obedecen a esta secuencia, y acomodan sus semillas en forma de 21 y 34 espirales. Las piñas, prácticamente cualquier variedad que encuentres, también presentan  un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los números de Fibonacci, por lo general 8 y 13  o 5 y 8. 

Algunos aseguran que Leonardo encontró estos números cuando estudiaba el crecimiento de las poblaciones de conejos, y es muy posible que así sea. Imaginemos que una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a la edad de la fertilidad) engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? Si: cada mes habrá un numero de conejos que coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

El cuadrado de cada número F se diferencia en 1 del producto de los dos números F situados a cada uno de sus lados. Conforme se avanza en la sucesión, esta diferencia va siendo alternativamente positiva y negativa.

Por ejemplo: sea F = 5, entonces el número F anterior es el 3 y el número F posterior de la serie es el 8, obeservemos que 25 supera en una unidad al producto 3 por 8,o sea 24

La suma de los cuadrados de dos números F consecutivos cualesquiera,F_n²+F_n+1² es F_2n+1. Puesto que el último de estos números es de subíndice forzosamente impar, resulta de este teorema que al escribir en sucesión los cuadrados de los números de Fibonacci, las sumas de los pares de cuadrados consecutivos formarán la sucesión de números de Fibonacci con subíndice impar.

Cualesquiera cuatro números de Fibonacci consecutivos A, B, C, D verifican la siguiente identidad: C² - B² = A x D. Probemos, sean esos números: 2, 3, 5 y 8

se cumple que 25 - 9 = 16 y por otro lado 2 x 8 = 16

El tercero de cada tres números de la sucesión es divisible por 2; al contarlos de cuatro en cuatro, el cuarto es divisible por 3. El quinto de cada cinco es múltiplo de 5; el sexto de cada seis, es divisible por 8, y así sucesivamente.

A excepción del 3, todo número F que sea primo tiene subíndice primo. Dicho de otra forma, si el subíndice es compuesto, también lo será el número F correspondiente (Por ejemplo, 233 es primo y porta subíndice 13, también primo). Pero la recíproca no es cierta. Hay números de Fibonacci con subíndices primos que son números compuestos. El primer ejemplo es F₁₉ que vale 4.181, siendo éste último múltiplo de 37 y 113.

Con las excepciones triviales de 0 y 1, tomando 0 como el elemento de subíndice 0 de la sucesión, entre los números de Fibonacci hay solamente un cuadrado perfecto, el elemento que se encuentra en la posición 12, que es el número 144. También observemos que el número es el cuadrado del  subíndice.

 En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.

Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero   

Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión.

Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.

Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x 1.

Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3 x 2.

Ssobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5 x 3, luego uno 5 x 8, 8 x 13, 13 x 21...

Podemos llegar a rectángulo de 34  x  55, de 55  x  89...

Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo aureo.

Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1 x 1), pasan al rectángulo de dimensiones 2 x 1, al de 3 x 2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.

Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero. 

 

Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.

Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.

Curiosidades

Nuestra vida está rodeada de números.

            Un número particular

El número 123456789 presenta una propiedad muy interesante. Invirtiendo el orden de los dígitos que lo forman obtenemos el número  

987654321.

              Ahora bien, realicemos la resta entre ambos;

987654321-123456789

obtendremos el número

864197532

formado por los mismos dígitos…pero ordenados de otra manera.

         Multiplicando a casi todos los dígitos

              Si ahora tenemos el número 12345679 (observemos que difiere del anterior al no tener el 8) al multiplicarlo por 9 obtenemos:

12345679 x 9 =  111111111

              A su vez este número multiplicado por 2 da

111111111 x 2 = 222222222

al multiplicarlo por 3 da

111111111 x 3 = 333333333

              Además podemos decir que 12345679 multiplicado por 18 

12345679 x 18

da el mismo resultado que

12345679 x  (9 x 2)

lo que resulta igual a hacer

12345679 x  9 x 2

              Ahora, reemplazando los  resultados que ya obtuvimos en el comienzo tenemos

12345679 x  9 x 2

                                                            111111111 x 2 = 222222222

              Trabajando de la misma manera tenemos que

12345679 x 27 = 12345679 x  (9 x 3)

obteniendo así luego de reemplazar

333333333

              De esta manera también obtendremos:

12345679 x 36 = 444444444

¿Qué número dará por resultado el producto 12345679  x  54?

         La particularidad del número 37

                  Veamos:

Multiplicado por 3                           da 111 siendo 1+ 1+ 1= 3

         “             “     6 (= 3 x 2)             “  222    “      2 + 2 + 2= 6

         “             “     9 (= 3 x 3)             “  333    “      3 + 3 + 3 = 9

         “             “    12 (= 3 x 4)           “  444    “      4 + 4 + 4 = 12

         “             “    15 (= 3 x 5)           “  555    “      5 + 5 + 5 = 15

         “             “    18 (= 3 x 6)           “  666    “      6 + 6 + 6 = 18

         “             “   21 (= 3 x 7)           “  777    “      7 + 7 + 7 = 21

         “             “  24 (= 3 x 8)           “  888    “      8 + 8 + 8 = 24

         “             “  27 (= 3 x 9)           “  999    “      9 + 9 + 9 = 27 

              Podemos observar que al multiplicarlo por los múltiplos de 3: 3, 6, 9, ..., 27 obtenemos un número de tres dígitos iguales y tales que al sumarlos nos da ¡el número por el cual multiplicamos!

         Hablando de productos curiosos

              Y hablando de resultados de productos curiosos también podemos observar lo que sucede con el número 9:

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

              Pero el 9 no es el único número que presenta curiosidades, Veamos lo que sucede  con el número 8.

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

        

         Formas diversas de escribir un número

              Sabemos que un número lo podemos escribir como resultado de distintas operaciones entre otros números. Ahora bien, hay algunos que pueden expresarse como operaciones entre números formados por el mismo dígito. Veamos algunos casos interesantes.

     

               El número 100 escrito como operación con cinco dígitos iguales:

100 = 111 – 11

100 = 33 x 3 + 3:3

100 = 5 x 5 x 5 – 5 x 5   

 ó  100 = (5 + 5 + 5 + 5) x 5

El número 10 escrito con varios dígitos iguales:

10 = 11 – 1

10 = 3 x 3 + 3/3

              El número 1000 escrito con siete dígitos iguales:

1000 = 999 + 99:99

         Curiosa descomposición de un número

              El número 75 puede ser descompuesto en cuatro sumandos tales que den el mismo número: 12, sumando 4 al primero, restándole 4 al segundo, multiplicando por 4 el tercero y dividiendo por 4 el último:

75=8+16+3+48

              En efecto,  8+4=12

                               16-4=12

                                3x4=12

                               48:4=12

                                                               ¡Y al sumar obtenemos el 75!

De la misma manera podemos descomponer el número 48 en cuatro sumandos que cumplan las mismas condiciones con respecto a los números 3 y 9.

48 = 6 + 12 + 3 + 27

En efecto:      6 + 3 = 9;          12 – 3 = 9;          3 x 3 = 9;          27 / 3 = 9

             

Uno mas. Descompongamos el número 36 en cuatro sumandos respecto a los números 2 y 8 con las condiciones anteriores:

36 = 6 + 10 + 4 + 16

Operando tenemos:       6 + 2 = 8;         10 – 2 = 8;         4 x 2 = 8;         16 / 2 = 8

¿Serán los únicos números que pueden descomponerse de esta manera? La respuesta es NO. Semejantes a estas se pueden hacer infinitas descomposiciones, sólo basta partir de un número cualquiera y uno de sus múltiplos: por ejemplo, 5 y 15. Restándolos tendremos el primer sumando

15 – 5 = 10

sumándolos obtendremos el segundo sumando:

15 + 5 = 20

dividiéndolos tendremos el tercer sumando:

15 : 5 = 3

multiplicándolos obtendremos el cuarto:

15 x 5 = 75

La suma de los cuatro sumandos dará el número que se descompone con arreglo a la condición propuesta:

10 + 20 + 3 + 75 = 108

10 + 5 = 15;         20 – 5 = 15;         3 x 5 = 15;         75 / 5 = 15

             

Anímese a hallar otro número que cumpla con estas condiciones. No es complicado, solo le llevara un poco de tiempo. 

CURIOSIDAD

¿2=1?

CURIOSIDADES

Hasta el siglo XVI, las multiplicaciones se consideraban tan difíciles que sólo se enseñaban en las universidades.

El sistema sexagesimal, del que nos servimos para las unidades horas, minutos o grados, se desarrolló hace siglos en la antigua Babilonia.

Los números negativos empezaron a usarse en la India en el siglo VII para indicar las deudas. Sin embargo, hasta el s. XVIII los números negativos no fueron aceptados universalmente.

Las reglas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado datan del s. III.

El teorema de Pitágoras es estudiado en todo el mundo y tiene más de 370 demostraciones.

El escritor de Alicia en el país de las maravillas, Lewis Carroll, era matemático.

El sistema binario, usado hoy para la programación de ordenadores, fue inventado hace más de 300 años por Gottfried W. Leibnitz.

El día de Pi o de la Aproximación de Pi es un día en honor a la expresión matemática Pi (3,1415926). Este día fue elegido de acuerdo al formato de fecha americano (mes/día), es decir, se celebra el 14 de marzo de cada año, en concreto, y para ser más exactos, a las 1:59 am.

Cómo se midió el radio de la Tierra por primera vez

LA BIBLIOTECA DE PÉRGAMO

Dos de las bibliotecas más antiguas del mundo occidental se encuentran en Pérgamo y Éfeso (Turquía). De la de Pérgamo solo se conservan basamentos y lienzos de muros. Fue la segunda biblioteca más importante de la antigüedad después de la de Alejandría. Fue construida en tiempos de Eumenes II (197-159 antes de Cristo).Galeno era de Pérgamo y ejerció aquí la medicina. Durante su gobierno, Eumenes II, permitió la escolarización de las niñas.  La Biblioteca de Pérgamo fue fundada, en esta ciudad de la costa de Asia Menor, por Átalo I, aunque no se desarrolló totalmente hasta el reinado de su hijo en el siglo II a. C. Esta Biblioteca estaba organizada alrededor de un templo en honor a Atenea. La Biblioteca de Pérgamo tuvo, según Plutarco unos 200.000 volúmenes, y llegó a rivalizar con la Biblioteca de Alejandría. La tradición atribuye a esta biblioteca el empleo del pergamino como material de escritura.

 La Biblioteca de Pérgamo fue en la Antigüedad la segunda en importancia después de la de Alejadría. Ambas compitieron por un tiempo en calidad, número de volúmenes e importancia.

El rey de Pérgamo Átalo I Sóter fue el fundador de la biblioteca y su hijo Eumenes II fue el que la agrandó y fomentó; llegó a acumular hasta 200.000 volúmenes (otras fuentes hablan de 300.000). Allí se estableció una escuela de estudios gramaticales, como había sucedido en Alejandría, pero con una corriente distinta. Mientras en Alejandría se especializaron en ediciones de textos literarios y crítica gramatical, en Pérgamo se inclinaron más a la filosofía, sobre todo a la filosofía estoica, a la búsqueda de la lógica en lugar de hacer análisis filológicos.

Los volúmenes de Pérgamo eran copiados en un material llamado pergamino porque fue inventado y ensayado precisamente en esta ciudad. Al principio los libros eran de papiro pero la leyenda atribuye la creación de este material a los bibliotecarios de Pérgamo, quienes, según la leyenda, tuvieron que buscar otros materiales de escritura después de que Egipto prohibiera la exportación del papiro, y comenzaron a escribir sobre pieles curtidas de animales. El pergamino reemplazaría al papiro, ya que ofrecía mayor durabilidad y facilidad para la escritura, además de que el material podía utilizarse por ambos lados. Alejandría dejó de abastecer a Pérgamo de esta materia, por cuestiones políticas y de rivalidad, y Pérgamo tuvo que ingeniárselas de otra manera. Los historiadores aseguran que la elección de pergamino fue completamente voluntaria y por el hecho de ser éste un material más acomodadizo y duradero.

Parece ser que en esta biblioteca se guardaron como un gran tesoro y durante cien años los manuscritos de Aristóteles, sin hacer ediciones y sin publicarse. Sólo cuando llegaron a Roma y bajo la insistencia y el empeño del político y escritor Cicerón se procedió a editarlos y darlos a conocer no sólo a los estudiosos de las bibliotecas sino a todo el que quisiera leerlos.

En el año 47 a. C. ocurrió el incendio de Alejandría y parte de su biblioteca, a raíz de los enfrentamientos por mar entre el ejército egipcio y Julio César. Según narra  en sus Vidas paralelas, más tarde, como recompensa por las pérdidas, Marco Antonio habría mandado al Serapeo de Alejandría los volúmenes de la biblioteca de Pérgamo, que ya había sido saqueada con anterioridad por causa de las luchas políticas que hubo en Asia Menor en aquellos años. Éste fue el fin de la segunda gran biblioteca.

Fuente: 

REPORTAJE:FUERA DE RUTA. De Pérgamo, el pergamino

Visita a dos de las grandes bibliotecas del pasado, focos de cultura mediterránea

http://elpais.com/diario/2010/08/14/viajero/1281820094_850215.html

LA BIBLIOTECA DE ALEJANDRÍA

TEST DE APRENDIZAJE Nº 8. TEMA: TRIGONOMETRÍA

Para prepararte para el examen de GEOMETRÍA EUCLIDEANA te recomiendo hacer el siguiente test. Respondiendo una serie de preguntas podrás evaluar tus conocimientos sobre el siguiente tema: TRIGONOMETRÍA.
Al finalizar el test tendrás el resultado del mismo.
El código de acceso para poder realizar el test es: ALYGA11

TEST DE CONTROL DE APRENDIZAJE DE LA TEORÍA DE TRIGONOMETRÍA

Cualquier parecido con la realidad...

CURIOSIDADES

Curiosidades de algunos números

El número 123456789 presenta esta notable propiedad: tomándolo como

substraendo del número 987654321, formado por las mismas cifras en orden

inverso, da por resto el número 

864197532

formado por las mismas cifras ordenadas de otra manera.

El número 12345679, multiplicado por 9 da

 111111111. 

Y como este último multiplicado por 2 da

222222222 

y por 3 da

 333333333, etc.,

tendremos que el número propuesto 12345679 multiplicado por 18 (que es igual a 9 x 2) dará

222222222; 

multiplicado por 27 (que es 9 x 3) dará 

333333333; 

multiplicado por 36 (que es 9 x 4) dará 

444444444; 

por 45 (9 x 5) dará 555555555; por 54 dará 

666666666, 

etc.